ОСІ І АСИМПТОТИ ГІПЕРБОЛИ

15.09.2015

ОСІ І АСИМПТОТИ ГІПЕРБОЛИ

Проведемо пряму через фокуси гіперболи. Ця пряма є віссю симетрії гіперболи. Інша вісь симетрії перпендикулярна до першої і проходить через середину відрізка F1. F2 . Точка О перетину осей є центром симетрії; вона називається просто центром гіперболи Перша вісь перетинає гіперболу в двох точках A1 і A2 , званих вершинами гіперболи; відрізок A1. A2 називається дійсною віссю гіперболи. Різниця відстаней точки гіперболи A1 до фокусів F1 і F2 повинна дорівнювати m :

ОСІ І АСИМПТОТИ ГІПЕРБОЛИ

ОСІ І АСИМПТОТИ ГІПЕРБОЛИ

в силу симетрії гіперболи; 1 F1 можна замінити 2 F2 , і ми отримаємо

ОСІ І АСИМПТОТИ ГІПЕРБОЛИ

Очевидно, що різниця 1 F2 —2 F2 дорівнює 1 2 , т е. дорівнює довжині дійсній осі гіперболи; Отже, різниця m віддалей будь-якої точки гіперболи до її фкусов (при цьому з більшої відстані слід віднімати менше) дорівнює довжині дійсній осі гіперболи.

ОСІ І АСИМПТОТИ ГІПЕРБОЛИ

Засечем з вершини 1 (або A2 ) другу вісь симетрії гіперболи дугою кола, радіус якої дорівнює половині F1 F2 . Знайдемо дві точки 1 і 2 (рис. 18); відрізок 1 2 називається уявною віссю гіперболи. Побудуємо далі прямокутник РQRS, сторони якого паралельні осям гіперболи і проходять через точки 1 ,А 2. 1 і 2 і проведемо його діагоналі РК QS. Продовжуючи їх досхочу, отримаємо дві прямі, звані асимптотами гіперболи. Вони володіють тим чудовою властивістю, що ніде не перетинаються з гіперболою, хоча точки гіперболи наближаються до асимптотам як завгодно близько і тим .ближче, чим далі ці точки відстоять від центру гіперболи. Дуги гіперболи, укладені між двома точками, далекими від центру, виглядають на малюнку майже як відрізок прямої (див. дугу М 1 М 2 на рис. 18), хоча насправді вони ніде не прямолінійні; просто викривлення їх незначно і тому ледь помітно.

Щоб зобразити приблизно гіперболу на малюнку, не вдаючись до точного побудови за допомогою лінійки і нитки, слід робити так. Спочатку зображуємо осі симетрії гіперболи; потім відзначаємо на першій з них фокуси F1 і F2 на рівних відстанях від центру, далі відкладаємо по обидві сторони від центру на тій же першій осі відрізки, рівні половині m. тобто половині заданої різниці відстаней точок гіперболи до її фокусів, і отримуємо вершини A1 і A2 гіперболи; потім наносимо на другій осі зарубками точки 1 і 2 , будуємо прямокутник РQRS і, нарешті, проводимо і продовжуємо його діагоналі. Виходить фігура, зображена на рис. 19. Тепер залишається провести від руки дві дуги, симетричні відносно осей, що проходять через

ОСІ І АСИМПТОТИ ГІПЕРБОЛИ

точки A1 і A2. плавно згинаються і все тісніше і тісніше прилеглі до асимптотам РR QS .

Короткий опис статті: пошук по картинці ios

Джерело: ОСІ І АСИМПТОТИ ГІПЕРБОЛИ

Також ви можете прочитати