Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.

19.09.2015

Дотична до графіка функції в точці. Рівняння дотичної. Геометричний зміст похідної.

Корисні статті.

Цю статтю почнемо з огляду необхідних визначень і понять.

Далі озвучимо геометричний зміст похідної, дамо пояснення і графічну ілюстрацію.

Після цього перейдемо до запису рівняння дотичної прямої і наведемо докладні рішення найхарактерніших прикладів і завдань.

В укладення зупинимося на знаходження рівняння дотичної до кривих другого порядку, тобто, до кола, еліпса, гіперболи і параболі.

Визначення і поняття.

Визначення.

Кутовим коефіцієнтом прямої y=kx+b називають числовий коефіцієнт k .

Кутовий коефіцієнт прямої дорівнює тангенсу кута нахилу прямої. тобто, Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.
.

Визначення.

Пряму AB. проведену через дві точки графіка функції y=f(x). називають січної. Іншими словами, січна – це пряма, що проходить через дві точки графіка функції.

Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.

На малюнку січна пряма AB зображена синьою лінією, графік функції y=f(x) — чорної кривий, кут нахилу січної Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.
— червоною дугою.

Якщо брати до уваги, що кутовий коефіцієнт прямої дорівнює тангенсу кута нахилу (про це казали вище), і тангенс кута в прямокутному трикутнику ABC є ставлення противолежащего катета до прилежащему (це визначення тангенса кута), то для нашої січної буде справедлива серія рівностей Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.
, де Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.
— абсциси точок А і В. Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.
— відповідні значення функції.

тобто, кутовий коефіцієнт січної визначається рівністю Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.
або Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.
рівняння січної записується у вигляді Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.
або Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.
(за необхідності звертайтеся до розділу рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом, що проходить через задану точку ).

Січна пряма розбиває графік функції на три частини: ліворуч від точки А. від А до В і праворуч від точки Ст. хоча може мати більш ніж дві спільні точки з графіком функції.

На малюнку нижче наведено три фактично різних січних (точки А і В різні), але вони збігаються і задаються одним рівнянням.

Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.

Нам жодного разу не зустрічалися розмови про січної прямий для прямої. Але все ж, якщо відштовхуватися від визначення, то пряма та її січна пряма збігаються.

У деяких випадках січна може мати з графіком функції нескінченне число точок перетину. Наприклад, січна, що визначається рівнянням y=0. має нескінченне число спільних точок з синусоїдою.

Визначення.

Дотичної до графіка функції y=f(x) в точці Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.
називають пряму, що проходить через точку Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.
, з відрізком якої практично зливається графік функції при значеннях х як завгодно близьких до Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.
.

Пояснимо це визначення на прикладі. Покажемо, що пряма y = x+1 є дотичною до графіка функції Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.
в точці (1; 2). Для цього покажемо графіки цих функцій при наближенні до точки торкання (1; 2). Чорним кольором показаний графік функції Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.
, дотична пряма показана синьою лінією, точка дотику зображена червоною крапкою.

Кожен наступний малюнок є збільшеною областю попереднього (ці області виділено червоними квадратами).

Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.

Добре видно, що поблизу точки дотику графік функції Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.
практично зливається з дотичною прямою y=x+1 .

А зараз перейдемо до більш значимого визначення дотичній.

Для цього покажемо, що буде відбуватися з січною АВ. якщо крапку В нескінченно наближати до точки А .

Малюнок нижче ілюструє цей процес.

Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.

Січна АВ (показана синьою пунктирною прямий) буде прагнути зайняти положення дотичної прямої (показана суцільною синьою лінією), кут нахилу січної Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.
(показаний червоної переривчастою дугою) буде прагнути до кута нахилу дотичної Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.
(зображений червоної суцільний дугою).

Визначення.

Ось тепер можна переходити до оописанию геометричного змісту похідної функції в точці.

Геометричний зміст похідної функції в точці.

Розглянемо січну АВ графіка функції y=f(x) таку, що точки А і В мають відповідно координати Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.
Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.
, де Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.
— прирощення аргументу. Позначимо через Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.
приріст функції. Відзначимо все на кресленні:

Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.

З прямокутного трикутника АВС маємо Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.
. Оскільки за визначенням дотична – це граничне положення січної, то Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.
.

Згадаймо визначення похідної функції в точці. похідною функції y=f(x) в точці Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.
називається границя відношення приросту функції до збільшенню аргументу при Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.
, позначається Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.
.

Отже, Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.
, де Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.
— кутовий коефіцієнт дотичній.

Таким чином, існування похідної функції y=f(x) в точці Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.
еквівалентно існуванню дотичної до графіка функції y=f(x) в точці дотику Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.
, причому кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює значенню похідної в точці Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.
, тобто Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.
.

Укладаємо: геометричний зміст похідної функції в точці полягає в існуванні дотичної до графіка функції в цій точці.

Рівняння дотичної прямої.

Для запису рівняння будь-якої прямої на площині достатньо знати її кутовий коефіцієнт і точку, через яку вона проходить. Дотична пряма проходить через точку торкання і її кутовий коефіцієнт для диференційовних функцій дорівнює значенню похідної в точці Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.
. Тобто, з пункту геометричний зміст похідної функції в точці ми можемо взяти всі дані для запису рівняння дотичної прямої.

Рівняння дотичної до графіка функції y = f(x) в точці Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.
має вигляд Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.
.

Ми маємо на увазі, що існує кінцеве значення похідної Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.
, в іншому випадку дотична пряма або вертикальна (якщо Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.
Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.
), або не існує (якщо Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.
).

В залежності від кутового коефіцієнта Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.
, дотична може бути паралельна осі абсцис (Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.
), паралельна осі ординат (Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.
в цьому випадку рівняння дотичної матиме вигляд Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.
), зростати (Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.
) або убувати (Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.
).

Саме час навести кілька прикладів для пояснення.

Приклад.

Скласти рівняння дотичної до графіка функції Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.
в точці (-1;-3) і визначити кут нахилу.

Рішення.

Функція визначена для всіх дійсних чисел (за необхідності звертайтеся до статті область визначення функції ). Так як (-1;-3) – точка дотику, то Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.
.

Знаходимо похідну (для цього може знадобитися матеріал статті диференціювання функції, знаходження похідної ) і обчислюємо її значення в точці Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.
:

Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.

Так як значення похідної в точці дотику є кутовий коефіцієнт дотичної, а він дорівнює тангенсу кута нахилу, то Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.
.

Отже, кут нахилу дотичної дорівнює Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.
, а рівняння дотичної прямої має вигляд

Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.

Графічна ілюстрація.

Чорним кольором показаний графік вихідної функції, дотична пряма зображена синьою лінією, точка дотику — червоною крапкою. Малюнок справа представляє собою збільшену область, позначену червоним пунктирним квадратом на малюнку зліва.

Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной.

Короткий опис статті: пошук по картинці ios Перед Вами вся необхідна інформація для складання рівняння дотичної прямої до графіка функції в точці. Дано визначення дотичної прямої, кута нахилу дотичної, кутового коефіцієнта. Розглянуто геометричний зміст похідної функції в точці. Наведені приклади знаходження рівняння дотичної до різних функцій та кривих другого порядку. Розглянуто випадки коли дотична пряма паралельна осі абсцис, осі ординат, не існує. дотична, кут нахилу дотичної, кутовий коефіцієнт дотичної, рівняння дотичної, тангенс кута нахилу дотичної, геометричний зміст похідної.

Джерело: Дотична пряма до графіка функції в точці. Геометричний зміст произовдной. Рівняння дотичної.

Також ви можете прочитати