Додатка

15.09.2015

Площа криволінійної трапеції у декартовій системі координат.

Нехай на площині Оху дана фігура, обмежена відрізком [. b ] осі Ох. прямими х = . х = b і графіком безперервного і невід’ємної функції y = f ( x) [. b ]. Таку фігуру називають криволінійною трапецією і площа її можна обчислити за формулою Додатка
Доказ. Розіб’ємо відрізок [. b ] на n частин точками = х 0 < x 1 < x 2 <… < x i - 1 < x i < … < xn = b. виберемо на кожному частковому відрізку [ x i - 1. x i ], i = 1, 2. … n. довільно точку ξ i (x i - 1 ≤ ξ i ≤ x i ) розглянемо ступінчасту фігуру. Її площа наближено рівна площі S криволінійної трапеції:

Додатка

де Δ x i = x i — x i — 1. Так як функція f (x ) неперервна [ . b ], то межа отриманої інтегральної суми існує при Додатка
і площа S криволінійної трапеції чисельно дорівнює визначеному інтегралу від функції f (x) [. b ]:

Додатка

Приклад 1. Знайти площу фігури, обмеженої графіком функції y = x α. α > 0. прямий х = 1 і віссю Ох .

Рішення. За формулою маємо Додатка
Нехай на відрізку [ . b ] задані дві неперервні функції y 1 = f 1 (x ) і y 2 = f 2 (x ), причому при всіх значеннях х з цього відрізка y 1 ≤ y 2. Знайдемо площу фігури, обмеженої графіками функцій, а також прямими х = а х = b .

Якщо обидві функції невід’ємні, то площа цієї фігури дорівнює різниці площ криволінійних трапецій, обмежених відповідно графіками функцій y 2 = f 2 (x ), y 1 = f 1 (x ), прямими х = а х = b і віссю абсцис. Отже, площа S фігури можна знайти так

Додатка

Рішення. На малюнку видно, що межами інтегрування є абсциси точок перетину графіків даних функцій. Для знаходження меж інтегрування вирішимо систему рівнянь Додатка
В результаті отримуємо х 1 = — 2, х 2 =1 і знаходимо шукану площу

Додатка

Приклад 3. Знайти площу, укладену між параболою = х 2 — 2·х + 2, дотичній до неї в точці (3; 5) і віссю Оу .

Рішення. Рівняння дотичної до кривої f (x ) = x 2 — 2· x +2 в точці (3; 5) має вигляд y — 5 = f ‘ (3)·(x — 3). Оскільки f ‘ (x ) = 2·x — 2 і f ‘ (3) = 2·3 — 2 = 4, отримуємо рівняння дотичної — 5 = 4· (х — 3), або = 4·х — 7. Так як гілки параболи спрямовані вгору, то парабола лежить над дотичною, т.е. х 2 — 2·х + 2 ≥ 4·х — 7 на відрізку [0, 3] (дивись малюнок. )

Знаходимо шукану площу Додатка

Площа криволінійного сектора обмеженою лінією, заданою в параметричній формі.

Нехай лінія задана в параметричній формі Додатка
При зміні параметра t Î [α, β] радіус–вектор Додатка
описує криволінійний сектор. (дивись малюнок. )

Розіб’ємо інтервал [α, β] на нескінченно малі відрізки α < t 1 < t 2 < … < t n - 1 < tn = β. Площа криволінійного сектора наближено дорівнює сумі площ трикутників: Додатка
. При цьому Додатка
. Виконуючи граничний перехід і враховуючи вид інтегральної суми, отримаємо Додатка
. Знак ± вибирається виходячи з необхідності отримати позитивний результат. Приклад 4. Знайти площу фігури, обмеженою однією аркою циклоїди x = a ·(t — sint ), y = a ·(1 — cost ), 0 ≤ t ≤ 2·π і віссю Ох. (дивись малюнок. )

Рішення. За формулою маємо

Додатка

Таким чином S = 3·π·a 2 .

Площа криволінійного сектора в полярних координатах

Нехай крива АВ задана в полярних координатах рівнянням ρ = ρ (φ), α ≤ φ ≤ β причому функція ρ(φ) неперервна і невід’ємна на відрізку [α, β].

Плоску фігуру, обмежену кривою АВ і двома полярними радіусами, складовими з полярною віссю кути α і β, називатимемо криволінійною сектором. Площа криволінійного сектора може бути обчислена за формулою Додатка
Доказ. Розіб’ємо довільно відрізок [α, β] n частин точками α = φ0 < φ1 < φ2 < … < φi - 1 < φi < … < φn = β Виберемо на кожному частковому відрізку [φi - 1. φi ], i = 1, 2,…. n. довільно точку ξі ( φ i -1 ≤ ξі ≤ φ i ) і побудуємо кругові сектори з радіусами ρ (ξ i ). В результаті отримано віялоподібна фігура, площа якої будемо вважати наближено дорівнює площі криволінійного сектора:

Додатка

Таким чином, отримана інтегральна сума σ для інтеграла. Так як функція ρ 2 (φ) неперервна на відрізку [α, β], то межа цієї суми існує при Додатка
і площа криволінійного сектора чисельно дорівнює половині визначеного інтеграла від функції ρ 2 (φ) [α, β]:

Додатка

Приклад 5. Обчислити площу фігури, обмеженою полярною віссю і першим витком спіралі Архімеда ρ = ·φ, де – позитивне число. (дивись малюнок. )

Рішення. При зміні φ від 0 до 2π полярний радіус опише криву, що обмежує криволінійний сектор ОАВС. Тому маємо

Додатка

Зауважимо, що точка відстоїть від полюса на відстані ρ = 2·π·a. Тому коло радіуса ОС має площу Додатка
, тобто площу фігури, обмеженою полярною віссю і першим витком спіралі Архімеда дорівнює 1/3 площі кола з радіусом, рівним найбільшому з полярних радіусів витка. До цього висновку прийшов ще Архімед (дивись малюнок. ).

Довжина дуги кривої, заданої в декартовій системі координат.

Нехай плоска крива АВ задана рівнянням = f ( x ), a ≤ x ≤ b. де f ( x ) – неперервна разом зі своєю похідної на відрізку [ . b ] функція. Розіб’ємо криву АВ n довільних частин точками = М 0. М 1. М 2. …. M i — 1. M i. …, M n = B в напрямку від . З’єднавши ці точки хордами, отримаємо деяку вписану ламану лінію, довжину якої позначимо через Р. (дивись малюнок. )

Позначимо через l i довжину однієї ланки M i — 1 M i ламаної лінії, а через μ — довжину найбільшого з її ланок: Додатка
.

Визначення. Число L називається межею довжин ламаних Р при μ — 0, якщо для будь-якого як завгодно малого ε > 0 існує δ > 0 таке, що для будь-якої ламаної, у якої μ < δ, виконується нерівність | L - P | < ε.

Якщо існує кінцевий межа L довжин ламаних Р вписаних в криву при μ — 0, то ця межа називається довжиною дуги АВ:

Додатка

Якщо функція f ( x ) неперервна разом з f ‘ (x ) на відрізку [. b ], то довжина дуги АВ виражається формулою

Додатка

Доказ. Позначимо через x i і f ( x i ) координати точок М i. Довжина однієї ланки ламаної дорівнює Додатка
За формулою Лагранжа кінцевих приростів маємо Додатка
Додатка
Отже, Додатка
, Δ x i = x i — x i — 1. Таким чином, довжина ламаної дорівнює Додатка
. Так як функція Додатка
неперервна на [. b ], то межа суми Рn Додатка
існує. Так як λ ≤ μ і λ — 0 μ — 0, то Додатка
Приклад 6. Обчислити довжину дуги полукубической параболи y = x 3/2 від х = 0 х = 5. (дивись малюнок. )

Рішення. Диференціюючи y = x 3/2. знаходимо Додатка
. Отже, по виведеній формулі отримаємо Додатка

Довжина лінії, заданої параметрично.

У випадку, коли крива АВ задана параметрично x = φ (t ), y = ψ (t ), α ≤ t ≤ β, де α і β — значення параметра t. відповідають значенням х = х = b. тобто = φ (α), b = φ(β), у формулі Додатка
треба зробити заміну змінної, поклавши x = φ (t ), dx = φ ‘ (t )·dt. Тоді отримаємо

Додатка

Приклад 7. Обчислити довжину першого витка до архімедового спіралі ρ = ·φ.

Рішення. Формулу, за якою можна обчислити довжину лінії в полярній системі координат, можна одержати з попередньої формули, якщо покласти, що x = ρ(t )·cos t. = ρ(t )·sin t. Спробуйте вивести формулу самостійно. Перший виток до архімедового спіралі утворюється при зміні полярного кута φ від 0 до 2π. (дивись малюнок. )

Шукана довжина дуги дорівнює (дивись поворотний інтеграл) Додатка

Питання для самоперевірки

  1. Що називається криволінійною трапецією?
  2. У чому полягає геометричний зміст визначеного інтеграла?
  3. За якими формулами можна обчислити площу фігури: а) в прямокутних координатах; б) в полярних координатах; в) у випадку параметричного завдання кордону?
  4. 4. Яку властивість визначеного інтеграла відображає адитивна властивість площі?
  5. Що називається довжиною дуги кривої?
  6. За якими формулами обчислюється довжина дуги кривої: а) в прямокутних координатах; б) якщо лінія задана параметрично; в) якщо лінія задана в полярних координатах?
  7. Чому дорівнює диференціал дуги? У чому полягає геометричний зміст диференціала дуги?

Короткий опис статті: пошук по картинці ios

Джерело: Програми

Також ви можете прочитати